正常な判断ができなくなった父を、成年後見人申請をすることについて他の家族が反対しています。この場合、成年後見人申請は、裁判所により拒絶されますか？

成年後見人の申請において、家族や親族の間で反対意見があったしても、それをもって、裁判所が申し立てを拒絶することはありません。また、他の兄弟姉妹が全員賛成であることが、成年後見人の申請のための要件にはなっていませんので、家族や親族の同意書がなくても申請は可能です。
“成年後見制度”は、正常な意思表示ができない方を保護するための制度です。
裁判所は、申し立てがなされ、かつ、申請の要件を満たしていると判断した場合、成年後見開始の決定をします。この場合、裁判所は裁量的に後見開始の決定をしないとすることはできません。後見開始が決定された場合は、本人の保護が開始されるわけですから、このことをもって異議申立をすることはできません。
なお、裁判所には成年後見人候補者リストがあり、申立人が適当な候補者を指名できなくても、このリストから弁護士、司法書士、税理士等の職業後見人を選任します。仮に親族間に意見の相違があり、ある方が後見人に就職することにつき同意が得られていない場合などには、上記職業後見人が選任されることになります．
いずれにせよ、“成年後見制度”は，本人の保護を目的とする制度なので、裁判所が拒否したりすることはありません。